Joyful sorrow.

  직관주의는 크로네커가 가장 처음 주장했으며 브라우어와 그의 후계자들에 의해 크게 발전되었다. 집합론에서 야기된 역리를 극복하고자 하는 노력에서 이 사조가 비롯되었는데, 직관주의는 무한론을 절대적으로 요구하는 대부분의 수학자들로부터 배척받았으나 1950년대 말 헤이팅(Heyting)이 직관주의를 수학적 방법으로 형식화하는데 성공하여 다시 그 연구가 활발해졌다.
  직관주의는 수학이란 인간이 만들어낸 학문이라고 생각한다. 수학을 성립하게 하는 가장 기본이 되는 근거는 논리에 있지 않고 수학적 존재와 개념에 대한 우리의 직관에 있다는 것이 직관주의의 요지이다. 그들은 모든 수학적 개념이 선험적으로 얻어진다기 보다는 우리의 수학적 사고에 의해 생성되는 것이라고 생각한다. 직관주의는 수에 관한 한 어떤 수학적 명제라도 구성적 증명이 아니면 참이나 거짓을 주장할 수 없다고 본다. 어떤 특정한 성질을 만족하는 수가 적어도 하나 존재한다는 것을 증명하기 위해서는 그 수를 유한과정을 통해 산출하는 방법을 제시해야 한다. 즉, 존재하지 않는다고 가정하여 모순을 이끌어내는 방법인 귀류법을 전면적으로 부정한다. 또한 어떤 명제가 거짓임을 보이기 위해서는 구성적인 반증을 들어야 한다. 그들은 배중률을 거부한다. 어떤 명제가 참도 거짓도 아닌 중간인 가능성을 용납하고, 충분히 의미만 있으면 그것을 명제로 받아들이는 입장을 보이고 있다. 그들은 무한히 많은 원소를 동시에 제시하는 집합론적 방법을 거부하며, 실무한을 도입하지 않으면 수학의 역설이 나타나지 않는다고 본다. 무한집합을 계속하여 형성되는 가무한(假無限)으로 간주한다는 것이 꽤나 두드러진 특징이다.
  직관주의는 일반적으로 실무한(實無限)을 거부하는 것과 무한에 관한 배중률을 거부하는 것에서 비판받고 있다. 하지만 실무한과 배중률을 거부한다면, 고전해석학과 집합론의 대부분을 포기하여야 한다. 힐베르트는 “수학자에게 배중률을 포기하라는 것은 천문학자에게 망원경을, 권투선수에게 주먹을 쓰지 못하게 하는 것과 같다”고 날카롭게 비판하였다. 직관주의에서는 명제가 참임을 확인하기 위해 구체적인 방법이 제시되어야 한다. 따라서 초월적인 정의나 증명을 허용치 않는데, 이 때문에 많은 수학자들이 직관주의를 외면하고 있다. 후에 헤이팅에 의해 직관주의 수학이 현대수학과 별 차이 없이 성립한다는 것이 실증되었지만, 아직도 대다수의 수학자들은 직관주의를 외면하고 있다.